 |
|
From: "Alexei A. Fedotov" <lesha@adm.ict.nsc.ru>
Date: 2 Aug 2000 12:41:41 +0400
Area: fido7.ru.math
============= FAQ ver 0.10 numbertheory =============
*** new ***
БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА
FAQ: Что такое большая теорема Ферма?
KW: история, большая теорема Ферма
Юрист Пьер Ферма(1601-1665) был еще к тому же любителем математики. Он
знакомился с теорией чисел по переводу Баше "Арифметики" Диофанта (не
дошедшему до нас), попутно записывая на полях книги плоды своих размышлений
о прочитанном и не утруждая себя доказательствами. Известно, что через 100
лет доказательства утверждений Ферма не составляли тайны для известного
Петербургского математика Леонарда Эйлера (1707-1783). Только одно из этих
утверждений не поддавалось его усилиям:
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos,
et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos
ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane
detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
Это означало приблизительно следующее.
Не существует натуральных чисел a, b и c таких, что $a^n+b^n=c^n$ при любом
n>2. Я открыл поистине замечательное доказательство этого факта, но эти
поля [книги] слишком малы, чтобы вместить его.
Это утверждение стало называться "большой теоремой Ферма", и с той поры
математики всего мира потратили немало времени в попытках найти его
доказательство.
(с) авторизованный перевод faq sci.math
FAQ: Как сейчас обстоят дела с доказательством большой теоремы Ферма?
KW: Уилс, большая теорема Ферма, Wiles, модулярные кривые
Эндрю Уилс (Andrew Wiles), математик из Принстона, заявил, что он нашел
доказательство. Оно было представлено в Кембридже на специальном
трехдневном семинаре нескольким экспертам. Они нашли метод доказательства
обнадеживающим. Летом 1994 Уилс объявил о наличии дырки в доказательстве. А
в октябре 1994 Уилс опубликовал два препринта:
Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem, by Andrew Wiles
Ring theoretic properties of certain Hecke algebras, by Richard Taylor and
Andrew Wiles
Первый препринт (большой) содержал доказательство большой теоремы Ферма и
множество других вещей. Все они вытекали из второго препринта (короткого),
содержащего решающий шаг.
Дырка в доказательстве, предложенном в Кембридже, состояла в конструкции
Эйлеровой системы. После безуспешных попыток исправить конструкцию, Уилс
вернулся к другому подходу, который он обдумывал ранее. Он закончил
доказательство в предположении, что некоторые алгебры Гекке реализуются
алгебрами полных пересечений (*** under the hypothesis that certain Hecke
algebras are local complete intersections - am I right??). Плодотворность
этой идеи и многочисленные ее следствия были показаны в первом препринте.
Необходимое свойство алгебр Гекке Тэйлор и Уилс совместно установили во
второй работе.
С отказом от Эйлеровой системы новый подход стал значительно проще и короче
первого. После прочтения препринтов Фалтингс (Faltings) упростил все еще
более.
Окончательный вариант был напечатан в майском выпуске Annals of Mathematics
за 1995 год. За копиями этой работы, а также дальнейшими указаниями
обращайтесь (на английском) по электронной почте jlorder@jhunix.hcf.jhu.edu.
Итак:
Оба препринта были опубликованы. Тысячи людей прочли их. Около сотни
более-менее их поняли. Фалтингс еще более упростил доказательство. Даймонд
(Diamond) обобщил его. Теперь доказательство можно прочесть и понять.
Сложнейшая геометрия была заменена простой алгеброй. Доказательство
признано. Во втором доказательстве также была дырка, но она уже успешно
залатана.
[1] J.P.Butler, R.E.Crandall,& R.W.Sompolski, Irregular Primes to One
Million. Math. Comp., 59 (October 1992) pp. 717-722.
[2] Fermat's Last Theorem, A Genetic Introduction to Algebraic Number
Theory. H.M. Edwards. Springer Verlag, New York, 1977.
[3] Thirteen Lectures on Fermat's Last Theorem. P. Ribenboim. Springer
Verlag, New York, 1979.
[4] Number Theory Related to Fermat's Last Theorem. Neal Koblitz, editor.
Birkhauser Boston, Inc., 1982, ISBN 3-7643-3104-6
(с) авторизованный перевод faq sci.math
FAQ: А Ферма доказал свою теорему?
KW: большая теорема Ферма, история
Нет, Ферма не мог доказать большую теорему Ферма. Он говорил, что нашел
доказательство, только в начале своего увлечения математикой. Позже он
потратил много времени, исследуя случаи при n=4 и n=5. Если бы он нашел
доказательство ранее, зачем бы ему надо было исследовать частные случаи?
Вполне возможно, что Ферма имел ввиду одно из следующих "доказательств"
когда писал свой знаменитый комментарий.
1. Ферма открыл метод бесконечного спуска, который, в частности, может
быть использован при доказательстве большой теоремы Ферма при n=4. Этот
метод позволяет доказать даже более сильное утверждение, а именно, что у
уравнения $x^4+y^4=z^2$ нет решений в натуральных числах.
2. Возможно, также Ферма имел ввиду следующее ошибочное доказательство,
впервые предложенное Ламэ (Lame'). Его долгое время считали верным, пока
Лиувилль (Liouville) не указал на ошибку. Доказательство базировалось на
неверном допущении, что во всех кольцах разложение на простые множители
однозначно. Впоследствии Куммер развил данный метод и доказал теорему Ферма
для всех показателей, не превосходящих 100.
Данное доказательство выглядит приблизительно следующим образом:
Если существует решение (x, y, z) уравнения $x^n+y^n=z^n$ при некотором
составном показателе n=pq, то тогда (x^q, y^q, z^q) решения уравнения
$x^p+y^p=z^p$. Поэтому достаточно ограничиться случаем показателей, не
разлагающихся на меньшие множители. Пусть $x^p + y^p = z^p$. Пусть r ---
(примитивный) корень из единицы p-той степени.
Тогда наше уравнение можно разложить на множители:
$(x + y)(x + r y)(x + r^2 y)...(x + r^(p - 1) y) = z^p$
Рассмотрим кольцо Z[r], которое состоит из чисел вида $a_1 + a_2 r + a_3 r^2
+ ... + a_(p - 1) r^(p - 1)$, где все $a_i$ --- целые. Проверьте, что
данное множество чисел действительно является кольцом, то есть операции
складывая и умножая произвольные числа из этого множества Вы всегда
получаете числа из того же множества.
Мы сейчас покажем, что уравнение Ферма неразрешимо даже в этом расширенном
кольце, если в нем выполнена основная теорема арифметики, то есть теорема
об однозначности разложения на простые множители. В этом случае все
множители в левой части нашего уравнения почти взаимно просты, а
следовательно каждый множитель является p-той степенью.
Уже Эйлеру было известно, что при исследовании уравнения $x^p+y^p=z^p$
необходимо различать случай, когда ни одно из чисел x, y, z не делится на
p, от случая, когда хотя бы одно из этих чисел делится на p. Рассмотрим
первый случай.
Тогда $x+yr = u*t^p$, где u --- единица кольца Z[r]. ***(что-то здесь я не
понял, а всоем источнике вообще не делалось таких заявлений, может кто
разберется; напомню, исходник на sci.math или
http://daisy.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/math-faq.html) Но тогда x = y
(mod p). Аналогично, переписав уравнение в виде $x^p + (-z)^p = (-y)^p$,
получим что x = -z (mod p). Исходное уравнение перепишется следующим
образом $2x^p = x^p + y^p = z^p = -x^p$, откуда 3*x^p = 0 (mod p). Раз x
не делится на p, то 3 делится на p. Таким образом, при p>3 получим
противоречие.
Оставшийся случай несколько сложнее.
Основная сложность в том, что основная теорема арифметики не всегда
выполняется в кольцах Z[r]. ***Мне кажется, что в
Z[cos(2*Pi/11)+I*sin(2*Pi/11)] ОТА не выполняется --- число
2047=23*89=2^11-1 раскладывается на множители двумя разными способами.
Только вот насколько они простые? Схема доказательства такова. Ни 23, ни
89 не делятся нацело на 2-r. Остается, например, методом неопределенных
коэффициентов, показать, что 2-r простое число.
Можно привести следующее соображение, доказывающее, что Ферма не имел
доказательства своей теоремы, и сам понимал это. Ферма нигде больше, за
исключением полей "Арифметики", не упомянул об этом доказательстве. Если бы
он действительно придумал доказательство, то почему же он не опубликовал
его, или не вызвал английских математиков повторить его рассуждения.
Похоже на то, что Ферма сам обнаружил ошибку в своих рассуждениях до
публикации, и не побеспокоился стереть маргинальный комментарий.
Некоторые знаменитые математики раздумывали об этом вопросе. Андрэ Вейль
(Andre Weil) писал:
Это всего лишь одна злосчастная случайность, когда Ферма упоминает о кривой
высокого рода $x^n + y^n = z^n$, и не остается сомнений, что из-за какого-то
недоразумения ... на короткий момент, возможно ... он обманул себя помыслом
об общем доказательстве.
Уинфред Шарлау и Ханс Ополка (Winfried Scharlau and Hans Opolka) сообщают:
Знал Ферма доказательство или нет, являлось предметом многочисленных
обсуждений. Истина кажется очевидной ... [заметка на полях] была сделана во
время его первого знакомства с теорией чисел [1637]. Как мы знаем, он
никогда не повторял данную мысль во всей общности, но регулярно предлагал
своим корреспондентам решить проблему при n=3 и n=4 ... он сформулировал
случай при n=3 в своем письме к ***Чаркави (Carcavi) в 1659 ... Все эти
факты показывают, что Ферма быстро понял неполноту своего общего
доказательства в 1637. Безусловно, заметке на полях личной книги не
требовалось публичного опровержения.
И все же надо помнить, что "доказательство" Ферма возникло до начала
периода "публикуй, или будешь забыт", продолжающегося сейчас. Многое не
публиковалось, иногда лишь зашифровывалось в анаграммах или всплывало в
частном письме.
Ссылки
[1] From Fermat to Minkowski: lectures on the theory of numbers and its
historical development. Winfried Scharlau, Hans Opolka. New York, Springer,
1985.
[2] Basic Number Theory. Andre Weil. Berlin, Springer, 1967
[3] Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических
чисел. --- М.: Наука, 1978.
[4] Эдвардс Г. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую
теорию чисел. --- М.: Мир, 1980.
[5] Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. --- М.: Наука,
1982.
(с) авторизованный перевод faq sci.math
© faqs.org.ru