From: "Aleksey A. Fedotov" <lesha@adm.ict.nsc.ru>
Date: 21 Jan 2001 12:47:23 +0400
Area: fido7.ru.math


КАК ВСЕ ЭТО ЧИТАТЬ


FAQ.  Что такое TeX?
Это текстовый процессор, созданный автором "The Art of Programming"
Дональдом Кнутом.  Свободно (бесплатно) распространяется.  Де-факто стандарт
оформления математических текстов.  Может использоваться для генерации
печатных материалов приемлимого вида.


FAQ.  Что означает запись $x^{n}$?
Запись $x^{n}$ в TeXе отображается, как x с верхним индексом n.  Обычно
подобная запись означает x в степени n.


FAQ.  Что означает запись $x \in A$?
Запись $x \in A$ в TeXе отображается, как отраженная в зеркале запись A э x.
Эта запись означает, что элемент х содержится в множестве A.


FAQ.  Как мне (точнее, Вам) сюда что-нибудь добавить?
Предполагается, что люди будут читать все это в текстовом редакторе, хотя и
не обязательно в равноширинном шрифте.  Люди при этом предполагаются TeXа не
разумеющие.  Поэтому при пополнении данного текста предлагается TeXовские
вставки сводить к минимуму.  Также я предлагаю пополнение этого текста
сделать свободным, а внесение правок согласовывать с автором.  Ответ на
каждый FAQ не должен быть продолжением вопроса, а представлять отдельно
понимаемый кусочек текста.  Разделы пока не заданы жестко и должны со
временем конкретизироваться.  Видимо со временем все это перестанет
помещаться в один файл, и файлы будут называться FAQ ver 0.2 АЛГЕБРА и т. д.

Форматирование текста.
Для улучшения читабельности предложения и части сложного предложения
отделяются двумя пробелами.



МАТЕМАТИКА В ИНТЕРНЕТ




АРИФМЕТИКА


FAQ.  Что такое натуральные числа?
Натуральные числа - это числа счета.  То есть именно столько овец может быть
в стаде у чабана.

В России --- 1, 2, 3, ...
В Америке --- 0, 1, 2, 3, ...

Множество натуральных чисел обозначают  большой латинской буквой N.  Иногда
среднюю или две крайние палочки у этой буквы N делают толстыми.

    ||\ ||
    || \||

Строго арифметика натуральных чисел задается аксиоматикой Пеано.


FAQ.  Что такое целые числа?
Целые числа --- это натуральные числа, противоположные им и ноль.
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Используются дикторами радио и телевидения при объявлении температуры.
Множество целых чисел обозначают толстой буквой Z.
     __
      //
     //_


FAQ.  Что такое рациональные числа?
Рациональные числа записываются дробями,  то есть выражениями вида целое /
натуральное.  Используются, например, при дележе тортов.  (Сложение трети
торта с одной шестой такого же торта --- хорошая модель для арифметики
рациональных чисел.)

1/3 + 1/6 = 1/2

Множество рациональных чисел обозначают толстой Q.


FAQ.  Что такое вещественные (действительные) числа?
Вещественные (действительные) числа записываются бесконечными десятичными
дробями.  Надо только иметь ввиду, что иногда две дроби обозначают одно и то
же число, например,

1,0000... = 0,9999...

Множество таких чисел обозначают толстой R.


FAQ.  Что такое комплексные числа?



ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

FAQ.  Что такое множество?

Это куча, совокупность, набор чего-либо.  Множества записывают в фигурных
скобках, например,
{1, 2, 3} --- множество трех первых натуральных чисел,
{n^2| n из N} --- множество квадратов натуральных чисел.

"Наивное" определение множеств ведет к противоречиям.  В начале века логик
Рассел придумал очень простой парадокс.  Рассмотрим множество всех множеств,
не содержащих себя.  Содержит ли оно себя?

Как устранить это противоречие чуть позже придумал Цермелло.  Затем его
аксиоматику улучшил Френкель.


FAQ.  Что такое объединение данных множеств?
Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из
данных множеств.


FAQ.  Что такое пересечение данных множеств?
Множество, состоящее из элементов, принадлежащих каждому из данных множеств.
Пересечение множества лысых людей и множества толстяков есть множество лысых
толстяков.


FAQ.  Что такое разность множеств A и B?
Подмножество множества A, состоящее из элементов, не принадлежащих множеству
B.  Разность множества толстяков и множества лысых --- это множество
толстяков, на голове которых имеется хотя бы один собственный волос.


FAQ.  Что такое декартово произведение множеств A и B?
Множество всех упорядоченных пар (x, y), где x из A, а y из B.  Например,
декартово произведение множества мужчин на множество женщин это множество
потенциально возможных брачных пар.  Обозначается A x B.


FAQ.  Что такое принцип Дирихле?
Если множество, содержащее n элементов, представлено в виде объединения k
подмножеств, то хотя бы одно из этих подмножеств содержит не менее n / k
элементов.

Говоря проще, если в двух клетках сидят три зайца, то хотя бы в одной клетке
находится не менее двух зайцев.


FAQ.  Что такое принцип математической индукции?
Принцип математической индукции --- это способ доказательства бесконечной
серии утверждений.

Пусть для некоторого утверждения U(n), зависящего от параметра n, выполнено
следующее:
1)  U(1) истинно;
2)  при всех натуральных n справедливость утверждений U(1), ...,  U(n)
влечет истинность U(n+1).
Тогда утверждение U(n) истинно при всех натуральных n.

Пример.  Любую сумму денег, большую семи рублей, в советское время можно
было разменять трешками и пятерками.

Доказательство.  Восемь рублей можно разменять трешками и пятерками.
Предположим, что можно разменять n рублей.  Тогда
а) либо в размене найдется хотя бы одна пятерка и ее можно заменить на две
трешки,
б) либо в размене нет пятерок, тогда там есть хотя бы три трешки, и их можно
заменить на две пятерки.
Таким образом из размена n рублей всегда можно сделать размен n+1 рубля.
Следовательно, по принципу математической индукции любую сумму денег,
большую семи рублей, можно разменять на трешки и пятерки.


FAQ.  Что такое функция?
Функция --- это взаимно однозначное соответствие между элементами двух
множеств.   Другими словами, это способ сопоставить каждому элементу
некоторого  множества A элемент из некоторого другого множества B.
Множество A называют областью определения функции, а множество B ---
областью значений.  Функцию f с областью определения A и областью значений B
обозначают f: A->B.


FAQ.  Что значит задать функцию?
Задать функцию можно таблицей, формулой (алгоритмом вычисления), графиком и
т. д.

1.  Таблица.
Пусть область определения и область значения функции f --- это множество
натуральных чисел {1, 2, 3}.  Тогда функцию можно задать следующей таблицей

 1 |-> 2
 2 |-> 1
 3 |-> 3

2.  Формула
Функция f: R->R на множестве вещественных чисел может быть задана формулой
f: x |-> x+2.  Эта функция сопоставляет каждому числу число, на 2 большее.


FAQ.  Что такое функция, обратная к функции f: A->B?
Функция g: B->A  называется обратной к функции f (обозначение $g=f^{-1}$),
если тождества
    f(g(y)) = y,
    g(f(x)) = x
выполнены при всех х из A, y из B.


FAQ.  Что называют суперпозицией функций?
Суперпозицией (композицией) функций f: A->B и g: B->C называют функцию
g(f(x)).  Композиция нескольких одинаковых функций f: A->A обозначается
$f^{n}(x)$.  Композицию не следует смешивать с функцией, значение которой в
точке x равно $(f(x))^n$.  Исключение составляют логарифмическая и
тригонометрическая функции, то есть $\sin^2 x$ --- это sin(x)*sin(x), а не
sin(sin(x)).



МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ


FAQ.  Что такое ограниченная функция?
Функция f: A->R называется
--- ограниченной сверху, если существует такое число M, что f(x)<M при всех
x из A;
--- ограниченной снизу, если некоторое число m осуществляет оценку f(x)>m
при всех x из A;
--- ограниченной, если она ограничена сверху и снизу.


FAQ.  Что такое возрастающая (убывающая) функция?
Пусть область определения A функции f является подмножеством множества
вещественных чисел.  Тогда функция f: A->R называется
--- возрастающей, если f(x2)>f(x1),
--- убывающей, если f(x2)<f(x1),
--- неубывающей, если f(x2)>=f(x1),
--- невозрастающей, если f(x2)<=f(x1),
где соответствующее условие должно быть выполнено при всех x1<x2.


FAQ.  Что такое числовая последовательность?
Числовая последовательность --- это отображение a: N->R множества
натуральных чисел в множество действительных чисел.


FAQ.  Что такое последовательность Фибоначчи?

FAQ.  Что такое формулы сокращенного умножения?

FAQ.  Что такое число e?

FAQ.  Что такое число Пи?

FAQ.  Что такое факториал?

FAQ.  Зачем нужна формула Стирлинга?

FAQ.  Что такое биноминальные коэффициенты?

FAQ.  Зачем нужен треугольник Паскаля?

FAQ.  Что такое Бином Ньютона?

FAQ.  Что такое теорема о промежуточном значении непрерывной функции?



НЕРАВЕНСТВА


FAQ.  Что такое неравенство Бернулли?

FAQ.  Что такое неравенство Коши?

FAQ.  Что такое целая часть числа?



ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

FAQ.  Как делить целые числа?

FAQ.  Что такое НОД (наибоьший общий делитель) чисел?

FAQ.  Что такое НОК (наименьшее общее кратное) чисел?

FAQ.  Что означает, что a сравнимо с b по модулю m?

FAQ.  Что такое система счисления?

FAQ.  Что такое признаки делимости?


FAQ.  Какие числа называют простыми?
Простые числа --- это натуральные числа, которые имеют всего два
делителя --- 1 и самого себя.

FAQ.  Что такое основная теорема арифметики?

FAQ.  С какой кратностью данное простое число входит в n!?

FAQ.  Что такое большая китайская теорема об остатках?

FAQ.  Что утверждает малая теорема Ферма?

FAQ.  Доказали ли большую теорему Ферма?


КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ


АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ


ГЕОМЕТРИЯ


КОМБИНАТОРИКА


ТЕОРИЯ ГРАФОВ


ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
==========================


ох, что-то мне надоело... вот поработаю сейчас, потом еще желание появится!


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


FAQ.  Какую книгу надо читать, чтобы сдать дифференциальные уравнения?
Книга А. Ф. Филлипова "Сборник задач по дифференциальным уравнениям" во
введениях к параграфам содержит хорший набор фактов.


FAQ.  Что такое дифференциальное уравнение?
Дифференциальное уравнение --- соотношение между значениями функции и ее
производных в каждой точке области определения.  Решение дифференциального
уравнения --- это функция.  Решить дифференциальное уравнение --- найти ВСЕ
удовлетворяющие ему функции.  Как правило, в результате получается семейство
функций, зависящее от нескольких непрерывных параметров.


FAQ.  Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение?
Обыкновенное дифференциальное уравнение связывает значение функции со
значениями ее производных по одной переменной в некоторой точке.  Так,
примером простейшего ОДУ является уравнение y=y',  решением которого служит
экспонента y=exp(x).  Другой известный пример --- это уравнение
математического маятника y=-y'',  решением которого служат гармоники
y=sin(x) и y=cos(x).  Дифференциальное уравнение, содержащее частные
производные по нескольким переменным,  называется уравнением в частных
производных (УрЧП).


FAQ.  Что такое порядок дифференциального уравнения?
Порядок дифференциального уравнения --- наивысшая из степеней производных,
которые в него входят.


FAQ.  Что значит проинтегрировать дифференциальное уравнение?
Проинтегрировать дифференциальное уравнение означает написать полную систему
первых интегралов данного уравнения.


FAQ.  Что такое первый интеграл дифференциального уравнения?
Первый интеграл --- функция, постоянная на траекториях дифференциального
уравнения.


FAQ.  Что такое ФСР (фундаментальная система решений)?
Иногда решения дифференциального уравнения образуют линейное пространство.
Это означает, что сумма решений этого уравнения и произведение решения на
число также являются решениями.  Такие дифференциальные уравнения называют
линейными дифференциальными уравнениями.   Размерность пространства решений
равна порядку уравнения. В этом пространстве можно выбрать базис.  Этот
базис и называется фундаментальной системой решений.


FAQ.  Зачем нужен определитель Вронского?
Определитель Вронского --- это функция, которая строится по системе решений
линейного дифференциального уравнения.  Он не равен нулю, если данная
система имеет полный ранг (линейно независима), то есть является
фундаментальной системой решений.  Значения определителя Вронского в разных
точках связаны формулой Луивилля.


FAQ.  Как решать линейные уравнения с постоянными коэффициентами?
Решения линейного уравнения с постоянными коэффициентами --- это экспоненты
$e^{tx}$.  Чтобы найти $t$, надо подставить угаданное решение в исходное
дифференциальное уравнение.  Полученное уравнение на $t$ называется
характеристическим уравнением.

Полученные экспоненты дают не всю фундаментальную систему решений, если
характеристическое уравнение имеет кратные корни.  В этом случае каждому
корню кратности n соответствует подпространство P(x)*exp(t*x), где P(x) ---
произвольный многочлен степени не выше n.


FAQ.  Что такое функция Грина?
Функция Грина --- это способ решать неоднородные линейные дифференциальные
уравнения Ly = f с переменными коэффициентами.  Для построения функции Грина
достаточно выписать решения соответствующего однородного уравнения Ly = 0.
Тогда решение неоднородного уравнения получается, как свертка функции Грина
с функцией f.

© faqs.org.ru